Обзор и анализ схемотехнических решений активных полосовых фильтров

Электрический  фильтр  –  это  четырехполюсник  с  зависящей  от  частоты амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).  Фильтры  предназначены  для  пропускания  определенной  части  спектра сигнала  и  подавления  остальной  части.  В  зависимости  от  вида  АЧХ  различают фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные (РФ) фильтры (рисунок 1).

Рисунок 1 -  АЧХ фильтров различных типов: а) ФНЧ, б) ФВЧ, в) ПФ, г) РФ.

За  полосу  пропускания  фильтра  принимается  область  частот,  для  которой коэффициент  усиления  уменьшается  не  более  чем  в  1/√2   =  0,707  раз.  На  рисунке  1  границы полос пропускания для фильтров, верхняя и нижняя граничные частоты (они также называются частотами отсечки), обозначены ωВ, ωН, ωЗН, ωЗВ.

Активные  фильтры  –  фильтры,  содержащие  активный  элемент, использующий  дополнительный  источник  питания.  Это  могут  быть  разные усилители,  транзисторы  и  другие  активные  элементы.  В  данной  работе  мы рассмотрим  активные  фильтры,  построенные  на  базе  операционных  усилителей (ОУ).  ОУ  является  одним  из  наиболее  часто  встречающихся  элементов  в аналоговой  схемотехнике,  так как  на  его  основе  можно  достаточно  легко  построить множество устройств: усилители, генераторы различных сигналов, стабилизаторы напряжения и тока, компараторы и активные фильтры. Из курса лекций известно, что  коэффициент  передачи  идеального  ОУ  с  обратной  связью  полностью определяется частотной характеристикой обратной связи и не зависит от усиления и  частотных  свойств  ОУ.  Поэтому,  подбором  свойств  цепи  обратной  связи  ОУ можно реализовать фильтры различных типов.

По  сравнению  с  пассивными  фильтрами  активные  фильтры  имеют  ряд преимуществ. Во-первых, активные фильтры могут быть также и усилителями, т.е. максимальное  значение  АЧХ,  в  отличие  от  пассивных  фильтров,  может  быть больше единицы. Во-вторых, для того чтобы получить большую крутизну АЧХ, т.е. сделать  фильтр  более  избирательным,  нужно  увеличить  порядок  фильтра.  Для пассивных фильтров это означает появление в схеме двух реактивных элементов: конденсатора и катушки индуктивности. Как мы увидим в работе, фильтры высших порядков на основе ОУ можно получить без использования катушек индуктивности (в  отличие  от  пассивных  схем),  что  позволяет  получать  дешевые  миниатюрные устройства  и  применять  технологию  интегральных  схем.  В-третьих,  большое входное и малое выходное сопротивления ОУ позволяют конструировать фильтры методом каскадного включения [2, с. 5].

Рассмотрим существующие схемы активных  фильтров.

  Фильтр Баттерворта.

Фильтр Баттерворта нижних частот имеет АЧХ, выраженную формулой (1), где n – целое  число,  которое  называется  порядком  фильтра,  а  К(0)  –  коэффициент усиления по постоянному току.

|K(iω)| = (K(0))/√((ω/(ω0 ))^2n+1)                                                  (1)

Такой  вид  АЧХ  является  максимально  гладкой  функцией,  а  крутизна характеристики увеличивается с возрастанием порядка фильтра (рисунок 2).

Рисунок 2 - АЧХ и переходные характеристики для фильтров Баттерворта нижних частот разных порядков n при К(0) = 1.

С одной стороны, увеличение крутизны АЧХ улучшает избирательность фильтра, делает его характеристику  ближе  к  прямоугольной,  что  является  достоинством  фильтра.  С другой  стороны,  увеличение  порядка  фильтра  увеличивает  время  переходных колебательных процессов в фильтре, ограничивая его быстродействие, и является недостатком. Поэтому,  на  практике фильтры высоких порядков не применяются.

Активный фильтр нижних частот.

Активный  фильтр  низких  частот  первого  порядка  реализуется  схемой, изображенной на рисунке 3.

Рисунок 3 - Активный ФНЧ первого порядка (а) и его пассивный аналог (б)

Коэффициент передачи и граничная частота фильтров соответственно  равны:

K(iω) = (-K0)/(iω/ω0+1)                                                       (2)

ω0 = 1/(RC(K0+1))                                                       (3)

Сравнивая  выражения  для  коэффициента  передачи  активного  и  пассивного фильтров,  видим,  что  при  одинаковых  параметрах  R  и  C  модуль  коэффициента передачи  активного  фильтра  первого  порядка  будет  в  К0  раз  больше,  чем  у пассивного, а граничная частота в К0 раз меньше.

Таким образом, можно заключить, что активный  ФНЧ  во  временной  области  с  хорошей  точностью  производит интегрирование входного сигнала, такая схема называется интегратор.

Схема  активного  ФНЧ  второго  порядка  приведена на рисунке 4.

Рисунок 4 - Активный ФНЧ второго порядка (а) и его пассивный аналог (б)

Коэффициент передачи активного фильтра:

K(iω) = Kp/((iω/ω0)^2+iω/Qω0+1)                                               (4)

где ω0 – собственная частота системы второго порядка, а Q – добротность. Связь параметров  уравнения  (4)  с  параметрами  электрической  схемы  дана уравнениями (5) – (10).

ω02 = 1/(R1*R3*C2*C4),                                                    (5)

Q = √((R3*C2)/(R1*C4))/(1+R3/R1+(C2 )/C4*(1-Kp)),                                                  (6)

При K0 >> 1:

Kp = K0/(1+R6/(R5+R6)*K0) ≈ 1+R5/R6,                                             (7)

Видно,  что  частотную  зависимость  фильтра  определяет  положительная  обратная связь. Отрицательная обратная связь с ОУ представляют собой не инвертирующий усилитель, коэффициент усиления которого определяется выражением (7).

Для пассивного фильтра:

ω02 = 1/LC                                                           (8)

Q = (ω0*L)/R                                                         (9)

Kp = 1                                                        (10)

АЧХ и ФЧХ активного ФНЧ для разных добротностей показаны на рисунок 5. Из рисунка  видно,  что  с  ростом  Q  проявляется  резонансный  характер  амплитудно-частотной  характеристики.

Рисунок 5 - АЧХ и ФЧХ активного ФНЧ второго порядка для разных добротностей.

Активный фильтр верхних частот.

Активный фильтр высоких частот первого порядка и его пассивный аналог изображены на рисунке 6.

Рисунок 6 - Активный ФВЧ первого порядка (а) и его пассивный аналог (б)

Коэффициент передачи активного фильтра равен:

K(iω) = -K0*(iω/ω0)/(iω/ω0+1),                                                (11)

ω0 = ((K0+1))/RC,                                                   (12)

Сравнивая  выражения  для  коэффициента  передачи  активного  и  пассивного фильтров  верхних  частот,  видим,  что  при  одинаковых  параметрах  R  и  C  модуль коэффициента  передачи  и  граничная  частота  активного  фильтра  будет  в  К0  раз больше,  чем  у  пассивного.

Таким  образом,  активный  ФВЧ  во  временной  области  производит дифференцирование входного сигнала, такая схема называется дифференциатор.

Схема  фильтра  высоких  частот  второго  порядка  и  ее  пассивный  аналог показаны на рисунке 7.

Рисунок 7 - Активный ФВЧ второго порядка (а) и его пассивный аналог (б)

K(iω) = (Kp*(iω/ω0)^2)/((iω/ω0)^2+iω/(Q*ω0)+1),                                                 (13)

где ω0 – собственная частота системы второго порядка, а Q – добротность.

При K0 >> 1:

ω02 = 1/(R2*R4*C1*C3)                                                      (14)

Q = √((R4*C1)/(R2*C3))/(1+C1/C3+R4/R2*(1-Kp))                                                   (15)

Kp = 1+R5/R6                                                          (16)

АЧХ  и  ФЧХ  активного  ФВЧ  второго  порядка  для  разных  добротностей показаны на рисунке 8. Здесь также как и для ФНЧ с увеличением Q АЧХ приобретает резонансный характер.

Рисунок 8 - АЧХ и ФЧХ активного ФВЧ второго порядка для разных добротностей.

Активный режекторный фильтр.

Режекторный фильтр с регулируемой полосой режекции может быть построен по  схеме,  приведенной  на  рисунке 9.  В  этой  схеме  в  цепи  частотно-избирательной обратной связи включен сбалансированный двойной Т-образный RC-мост (рисунок 10). Он является пассивным режекторным фильтром.

Рисунок 9 - Режекторный активный фильтр

Рисунок 10 -  Сбалансированный двойной Т-образный RC-мост

Коэффициент передачи фильтра не зависит от  К0 и определяется выражением:

K(iω) = Kp*((iω)^2+ω0^2)/((iω)^2+ω0/Q*iω+ω0^2 )                                     (17)

Семейство АЧХ и ФЧХ активного режекторного RC-фильтра при различных значениях Q приведены на рисунке 11.

Рисунок 11 - АЧХ и ФЧХ активного режекторного фильтра для разных добротностей

Полоса режекции определяется величиной Q и оказывается тем более узкой, чем больше Q.

Активный полосовой фильтр.

В  отличие  от  режекторного,  полосовой  фильтр  пропускает  сигнал  в определенном диапазоне частот. Рассмотрим два варианта реализации полосового фильтра.  Первая  схема  приведена  на  рисунке 12.  Выражение  для  коэффициента передачи в этом случае:

K(iω) = (K1*iω)/((iω)^2+ω0/Q*iω+ω0^2 )                                           (18)

K1 = 1/(C1*R1)                                                          (19)

Q = √(R2/R1)*√(C1*C2)/(C1+C2)                                                   (20)

ω02 = 1/(C1*C2*R1*R2)                                                (21)

Рисунок 12 -  Активный полосовой фильтр. Схема 1

Вторая  схема  полосового  фильтра  показана  на  рисунке 13.

Рисунок 13 -  Активный полосовой фильтр. Схема 2

Этот  фильтр  имеет ту же характеристику (18), где теперь:

K1 = 1/(R3*C4)                                                    (22)

Q = √((R3*C1)/(R2*C4))*1/(1+R3/R2)                                             (23)

ω02 = 1/(C1*C4*R2*R3)                                                    (24)

АЧХ  и  ФЧХ  рассматриваемого  активного  полосно-пропускающего  фильтра при разных Q приведены на рисунке 14. Графики приведены для K1 = 10 и ω0 = 100 рад/с.

В отличие от характеристик рассмотренных выше фильтров низкой и высокой частоты данный фильтр за пределами полосы пропускания ослабляет сигналы как низких,  так  и  высоких  частот.  При  Q  <<  1  имеем  фильтр  с  коэффициентом передачи, практически равным единице в широкой полосе. При Q >> 1 частотная характеристика  фильтра  имеет  четко  выраженный  резонансный  характер  вблизи частоты ω0.

Рисунок 14 - АЧХ и ФЧХ активного полосового фильтра

Многокаскадные фильтры.

Используя  различные  комбинации включения  пассивных  звеньев  первого  и  второго  порядков,  можно  реализовать практически  любую  АЧХ  и  ФЧХ. Если  между  звеньями  включать разделительные каскады с большим входным и малым выходным сопротивлением, то  общий  коэффициент  передачи  будет  равен  произведению  коэффициентов передачи  отдельных  звеньев.  Роль  таких  разделительных  каскадов  может  играть ОУ, включенный по схеме повторителя напряжения. Коэффициент передачи такой схемы будет равен 1.

На рисунке 15 показан принцип реализации многокаскадного фильтра.

Рисунок 15 - Многокаскадный фильтр из n звеньев

Коэффициент  передачи  такой  схемы  будет  произведением  коэффициентов передачи исходных звеньев:

K = K1*K2*…*Kn                                                  (25)

При  увеличении  n  полоса  пропускания  уменьшается,  крутизна  спада  АЧХ увеличивается.  Медленное  нарастание  сигнала  можно  трактовать  как  задержку. Чем больше n, тем больше задержка [2, с. 23].