КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

ВАРИАНТ 17

Задание 1

Дано:

функция z=ln(3x+2y)

точка M(2;2)

вектор a = 2i - 6j

Найти:

1) градиент функции z в точке M;

2) производную функции z в точке M по направлению вектора a.

Решение:

1) Градиент grad(z):

grad(z) = +

Находим частные производные:

=

=

grad(z) = i + j

Найдем градиент в точке M(2;2):

grad(z)_M = i + j = 0,3i + 0,2j

Модуль grad(u):

| grad(z)_M| = i +

| grad(z)_M| = = 0,36

2) Найдем производную функции z в точке M по направлению вектора a:

= *cosα + *cosβ

Вычисляем направляющие углы:

cosα =

cosβ =

Модуль вектора |a| равен:

|a| = = = = 6,32

cosα = 2/6,32 = 0,32

cosβ = 6/6,32 = 0,95

Производная функции z в точке M по направлению вектора a:

= 0,3*0,32+0,2*0,95 = 0,286

Задание 2

Дана функция:

z=2x²-3y²-2xy+8x+10y-6

Найти ее экстремум.

Решение:

Для начала найдём частные производные первого порядка:

= 4x-2y+8

= -6y-2x+10

Составим систему уравнений:

Сократим каждое уравнение этой системы на 2 и перенесём числа в правые части уравнений:

Применим метод Крамера для решения полученной системы:

∆ = = 2*3-(-1)*1= 7

∆_x = = -4*3-(-1)*5 = -7

∆_y = = 2*5-1*(-4) = 14

x= = = 1

y= = = 2

Координаты стационарной точки (1;2)

Найдём частные производные второго порядка:

= 4

= -6

= -2

Вычислим значение Δ:

∆=* – ()² = 4*(-6)-(-2)² = -24-4 = -28

Поскольку ∆<0, в рассматриваемой стационарной точке экстремума нет.

Значение функции в точке (1;2) составит:

z=2*1²-3*2²-2*1*2+8*1+10*2-6 = 8

Задание 3

Дано:

поверхность S: y²+5z²=7x

точка M₀(3;-1;2)

Написать уравнения касательной плоскости и нормали к данной поверхности S в точке M₀:

Решение:

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

f”x(x₀;y₀)*(x-x₀)+ f”y(x₀;y₀)*(y-y₀)-(z-z₀)=0

Преобразуем уравнение:

5z²=7x- y²

z=

Найдем частные производные:

z’x =

z’y = -0,2*

Подставим x=x₀, y=y₀ в выражения частных производных:

z’x(x₀;y₀) = = 0,33

z’y(x₀;y₀) = -0,2* = 0,1

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

0,33(x-3)+0,1(y+1)-(z-2)=0

0,33x-0,99+0,1y+0,1-z+2=0

0,33x+0,1y-z+1,11=0

Уравнение нормали имеет вид:

= =

Подставив значения, получим:

= =

Задание 4

Дано:

уравнение dy - x dx = 0

y=0 при x=0

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=y₀ при x=x₀.

Решение:

Преобразуем уравнение:

-x+ = 0

Это уравнение имеет вид:

f₁(x)*g₁(y)*y’=f₂(x)*g₂(y), где

f₁(x)=1

g₁(y)=1

f₂(x)=

g₂(y)=

Приведем уравнение к виду:

g₁(y)/ g₂(y)* y’= f₂(x)/ f₁(x)

Разделим обе части уравнения на:

Получим:

=

Домножим обе части уравнения на dx:

=

Возьмем интегралы от обеих частей уравнения:

=

asin(y)=C -

Ответ: y(x)=sin(C - )

Частное решение имеет вид:

y₀ =sin(C - )

Задание 5

Дано:

y’+2xy=e^{-x^2}sinx

y₀=1

x₀=0

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=y₀ при x=x₀.

Преобразуем уравнение:

y’= e^{-x^2}sinx-2xy

Это уравнение вида:

y’+f(x)y=q(x), где

f(x)=2x

q(x)= e^{-x^2}sinx

Решим сначала однородное линейное уравнение:

y’+f(x)y=0

Получаем:

= -f(x)dx

При y не равное 0:

= -

ln(|y|)=

Или:

|y|=e)

Поэтому:

y₁= e)

y₂= - e)

Найдем интеграл:

= = x²+C

y₁=e^(C-x²)

y₂= - e^(C-x²)

То есть:

y=Ce^(-x²)

Решим неоднородное уравнение:

y’+f(x)y=q(x)

Считаем С функцией x:

y=C(x)e^(-x²)

= q(x)e^()

= sin(x)

Определим C(x):

C(x)=

C(x)=-cos(x)

Подставим значение C(x) в y=C(x)e^(-x²):

Окончательно получим:

y=-cos(x)* e^(-x²)+C

Найдем частное решение, подставив значения y₀ и x₀:

1=-cos(0)*e⁰+C

1=-1*1+C

C=2

То есть частное решение:

y₀=-cos(x₀)* e^(-x₀²)+2

Задание 6

Дано:

y”-6y’+9y=4e^x

y₀=3

y₀^’= 8

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Решение:

Уравнение имеет вид:

y”+py’+qy=s, где

p=-6

q=9

s=4e^x

Решим сначала линейное однородное уравнение:

y”+py’+qy=0

Отыщем корни характеристического уравнения:

k² - 6k+9=0

k₁=3

Так как корень один, решение имеет вид:

y(x)=C₁e^k1x+C₂xe^k1x

Считая C₁ и C₂ функциями x:

y(x)=xC₂(x)e^3x+C₁e^3x

Найдем C₁ и C₂ из системы:

y₁(x)+y₂(x)=0

+=f(x)

f(x)= 4e^x

Система примет вид:

xe^3x + e^3x =0

+ = 4e^x

Решаем эту систему:

= -4xe^-2x

= 4e^-2x

Проинтегрируем:

C₁(x)=C₃+dx

C₂(x)=C₄ + dx

C₁(x)=C₃+(2x+1)e^-2x

C₂(x)=C₄-2e^-2x

Подставим найденные значения в:

y(x)=xC₂(x)e^3x+C₁e^3x

Окончательно получим:

y(x)=С₃e^3x + C₄xe^3x +e^x

Частное решение:

y(0)=3

y’(0)=8

= (C₂e^2x+2(C₁+C₂x) e^2x)e^x+(( C₁+C₂x) e^2x+1)e^x

y(x)= (( C₁+C₂x) e^2x+1)e^x

8=(C₂e^0*2+2(C₁+0C₂)e^0*2)e⁰+(( C₁+0C₂) e^0*2+1)e⁰

3=(( C₁+0C₂) e^0*2+1)e⁰

Отсюда:

C₁=2

C₂=1

Частное решение:

y(x)=((x+2)e^2x+1)e^x

Литература:

1. А. В. Галабурдин. Высшая математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2014,-190с.

2. Дифференциальные уравнения/ В.И. Иванов.-М.: РГУНиГ.-2011,-68с.