КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №5

Вариант 17

Задание 1

Дано:

Исследовать числовой ряд на сходимость с помощью достаточных признаков сходимости.

Решение:

Если ряд сходится, то предел его общего

члена равен нулю .

То есть:

=0

То есть заданный числовой ряд сходится.

Задание 2

Дан числовой ряд:

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Решение:

Радиус сходимости определяется по формуле:

R =

То есть:

R = =

Интервал сходимости ряда:

(-;)

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Подставим в степенной ряд вместо х значение, соответствующее левой граничной точки интервала сходимости:

= =

По признаку Лейбница для знакочередующихся рядов:

|a_n|<|a_n+1| и 0,

Следовательно, в точке - ряд расходится.

Подставим в степенной ряд вместо х значение, соответствующее правой граничной точки интервала сходимости:

=

По признаку Лейбница для знакочередующихся рядов:

|a_n|<|a_n+1| и 0,

Следовательно, в точке ряд расходится.

Задание 3

В корзине находится 30 шариков, среди которых 8 красных. Из корзины случайным образом выбирают 5 шариков. Найти вероятность того, что красных шариков среди них будет более трех.

Решение:

Более 3, означает 4 или 5.

Определим вероятность того, что красных шариков будет 4:

Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 5 шаров из 30:

4.

Найдем вероятность того, что среди выбранных 5 шаров 4 красных.

Количество вариантов выбора из 8 красных шаров:

Количество вариантов выбора из 22 других шаров остальной 1 другой:

P(4) = 70*22142506 = 0,0108

Найдем вероятность того, что все выбранные шары красные.

Вероятность того, что красных шариков будет более трех, равна сумме вероятностей:

P(>3)= P(4)+ P(5) = 0,0108+0,000393 = 0,011193

Задание 4

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 2/3. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах будет более двух попаданий.

Решение:

Вероятность определится, как сумма 3, 4, 5 и 6-ти попаданий.

Вероятность n попаданий равна произведению:

P(n)=P(1)ⁿ

Отсюда:

P(3)=(2/3)³=0,67³ = 0,296

P(4)= 0,67⁴ = 0,198

P(5)= 0,67⁵ = 0,133

P(6)= 0,67⁶ = 0,089

Вероятность того, что при 6 выстрелах будет более двух попаданий равна сумме:

P(>2)= P(3)+P(4)+P(5)+P(6)

P(>2)= 0,296+0,198+0,133+0,089 = 0,716

Задание 5

Известно, что короткое замыкание в электрической сети пяти этажного дома старой постройки происходит в течение года с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 подобных домов в течение года замыканий будет 78 и не менее 78.

Решение:

Поскольку количество событий велико, воспользуемся формулой Муавра – Лапласа:

P_n(k)=*φ ,где

p - вероятность появления события A в каждом испытании,

q=1-p

- плотность стандартного нормального распределения по справочнику.

P₄₀₀(78)=*0,3989*

P₄₀₀(78) = *0,3989* = 0,0125

Вероятность не менее 78 замыканий определится по интегральной теореме Муавра – Лапласа:

P₄₀₀(78;400) = Ф() – Ф(

P₄₀₀(78;400) = Ф* – Ф* = 0,0199*38= 0,75

Задание 6

Случайная величина X принимает значения лишь в интервале (0;1) с плотностью вероятности вида f(x,a). Найти значения параметра а, математического ожидания, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность того, что случайная величина X не превзойдет своего среднего значения, если:

f(x)=1-ax²

Решение:

Функции распределения:

F’(x)=f(x)

dx = 1

- = 1

x|₀¹ – a*|₀¹ = 1

(1-a*)-(0-a*0)=1

a=0

a=0

Функция распределения:

F(x)=x-0* = x

Математическое ожидание:

M(x)=(1-ax²)dx

M(x)=-

M(x)=1-0=1

Дисперсия:

D(x)=(1-ax²)dx

D(x)=

D(x)=

D(x)= – x² + x)|₀¹

D(x)=1/3-1+1-0

D(x)=1/3

Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (0;1):

Р(х₁ < X < х₂) = F(x₂) - F(x₁) =

P(0<x<1) = 1-0 =1

То есть, случайная величина выпадет в интервале (0;1) с вероятностью 1.

Среднее квадратическое отклонение:

σ = =

σ = 1,4

Литература:

1. А. В. Галабурдин. Высшая математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2014,-190с.

2. Дифференциальные уравнения/ В.И. Иванов.-М.: РГУНиГ.-2011,-68с.

3. Браилов А. В., Зададаев С. А., Рябов П. Е. Лабораторный практикум по теории вероятностей.– М.: Финуниверситет, кафедра «Теория вероятностей и математическая статистика», 2013. –206 с.