Контрольная работа

Вариант №3

Задача 1

Найти предел: lim

x→3

Преобразуем выражение: = =

lim = = 1,33

x→3

Задача 2

Найти предел: lim ( – ) / x

x→0

Преобразуем выражение: ( – ) / x

( – )* ( + )/x( + ) =

= (4+x-4+x)/ x( + ) = 2x/ x( + ) =

= 2/( + ) = 2/(+ = 2/2+2 = 0,5

Задача 3

Найти предел: lim (1+)^x

x→∞

По свойствам пределов:

lim (1+)^x = e³

x→∞

Задача 4

Найти производную функции: y =

Производная частного вычисляется по формуле: ()’ =

y’ = = = =

Задача 5

Найти производную функции: f(x) = cos²x+

f’(x) = -2cos x*sin x + ()’ = -2cos x*sin x

Задача 6

Найти дифференциал функции: y = ln

По определению: dy = y’dx

По свойствам логарифма: ln = ln e^x – ln(1+e) = x*ln e - ln(1+e)

ln e = 1

ln(1+e) = const

Следовательно:

dy = (x*ln e - ln(1+e))’dx = 1*dx = dx

Задача 7

Найти интеграл:

По формуле интеграла суммы:

= - - –

= x⁵ – x³ – 8sinx – C

Задача 8

Найти интеграл:

= = - * - ln| –x| +C

Поскольку: = - ln|a-x|+C

То есть: = ln| –x| +C

Численно равно:

0,25*0,83-0,25*0,26= 0,14

Задача 9

Найти интеграл: dx

Проинтегрируем по частям: dx

u=lnx

dv=dx

du =

v=-

Следовательно:

dx = - *lnx - = - -

Литература:

1. Справочник по математике. / Майсеня Л. И. – Минск: Высшая школа,- 2012.- 399 с.: ил.

2. Галабурдин А. В. / Мини-справочник для вузов: высшая математика / А. В. Галабурдин. — Ростов н/Д: Феникс, 2014. — 190 с.

.