Определить реакции связей в точках A и B, вызываемые действующими нагрузками.

Решение:

Изобразим схему равновесия рамы:

Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия:

∑M_A(F_K) = 0

F₂sin60⁰*2a + T*3a - F₄sin15⁰ *2a – M – R_B*a =0

R_B = (20*0,87*2*0,5+25*3*0,5-40*0,26*2*0,5-60)/0,5

R_B = -31 кН (направлена в противоположную сторону)

∑F_KX = 0

X_A+ F₄cos15⁰- F₂cos60⁰+ R_Bcos60⁰=0

X_A = 20* 0,5-40*0,97-31*0,5

X_A = -44,3 кН (направлена в противоположную сторону)

∑F_KY = 0

Y_A+T- F₄sin15⁰+ F₂sin60⁰-R_Bsin30⁰=0

Y_A = 40*0,26-25-20*0,5+31*0,5

Y_A = -9,1 (направлена в противоположную сторону)

Ответ:

R_B = -31 кН; X_A = -44,3 кН; Y_A = -9,1 – все направлены в сторону, противоположную указанной на схеме.

Равновесие системы взаимосвязанных тел.

Определить реакции связей в точках A, B, C.

Составим уравнения равновесия для стержня BC:

∑M_B(F_K) = 0

M+ F₃sin30⁰*4a-N*8a =0

N = (60+30* 0,5*4*0,2)/( 8*0,2)

N = 45 кН

∑F_KX = 0

Ncos60⁰-F₃- X_B=0

X_B= 45*0,5-30

X_B= -7,5 кН (направлена в противоположную сторону)

∑F_KY = 0

Nsin60⁰-Y_B=0

Y_B= 45*0,87

Y_B= 39,15 кН

Рассмотрим равновесие угольника, приняв приложение q в середине участка CK и равную:

Q=q*4a=20*4*0,2

Q= 16 кН

 Реакция N действует на угольник с той же силой в противоположную сторону.

Составим уравнения равновесия:

∑M_A(F_K) = 0

m_A- F₂sin60⁰*4a-Q*2a- Ncos60⁰*4a+ Nsin60⁰*8a=0

m_A = 20*0,87*4*0,2+16*2*0,2+45*0,5*4*0,2-45*0,87*8*0,2

m_A = -24,32 кН м (момент направлен по часовой стрелке)

∑F_KX = 0

X_A- F₂cos60⁰-Q- Ncos60⁰=0

X_A=20*0,5+16+45*0,5

X_A= 48,5 кН

∑F_KY = 0

Y_A+ F₂sin60⁰- Nsin60⁰=0

Y_A = 45*0,87-20*0,87

Y_A = 21,75 кН

Ответ:

N = 45 кН; X_B= -7,5 кН; Y_B= 39,15 кН; Q= 16 кН;

m_A = -24,32 кН м; X_A= 48,5 кН; Y_A = 21,75 кН.

Сила X_B и момент m_A направлены в сторону противоположную, указанной на схемах.

Равновесие произвольной пространственной системы сил.

Определить реакции связей в точках A и B и реакцию стержня.

Решение:

F₃ – в плоскости параллельной zy;

F₄ - в плоскости параллельной xy;

Реакция R направлена вдоль стержня.

Составим уравнения равновесия:

∑M_Y(F_K) = 0

M+P₂*a+P₁*a+F₃sin60⁰*2a-Z_B*2a=0

Z_B = (4+3*0,6+5*0,6+10*0,87*2*0,6)/1,2

Z_B = 16 кН

∑M_X(F_K) = 0

P₁*1,5a+P₂*3a-F₄*a- F₃cos60⁰*a+ F₃sin60⁰*3a-R*a=0

R = (5*1,5*0,6+3*3*0,6-12*0,6-10*0,5*0,6+10*0,87*3*0,6)/0,6

R = 25,6 кН

∑M_Z(F_K) = 0

F₄*a+ F₃cos60⁰*2a+Y_B*2a=0

Y_B = (-12*0,6-10*0,5*2*0,6)/1,2

Y_B = -11 кН (направлена в противоположную сторону)

∑F_KX = 0

X_A=0

∑F_KY = 0

Y_A+Y_B+R+F₄+ F₃cos60⁰=0

Y_A = 11-25,6-12-10*0,5

Y_A = -31,6 кН (направлена в противоположную сторону)

∑F_KZ = 0

Z_A+Z_B-P₁-P₂- F₃sin60⁰=0

Z_A = 5+3-16+10*0,87

Z_A = 0,7 кН

Ответ:

Z_B = 16 кН; R = 25,6 кН; Y_B = -11 кН;

X_A=0; Y_A = -31,6 кН; Z_A = 0,7 кН.

Реакции Y_A и Y_B направлены в противоположную сторону.

Кинематика

5.1 Кинематика точки

Определить уравнение траектории движения точки B, скорость, полное ускорение, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории.

Воспользуемся формулой:

sin²α+cos²α=1

Преобразует исходные формулы:

y=2sin(t)-2

x=-3cos(t)+2

Уравняем множители функций:

3y=6sin(t)-6

2x=-6cos(t)+4

Преобразовав уравнения, получим:

=sin²(t)

=cos²(t)

Получим уравнение траектории точки (эллипс):

(4-2x)²+(3y+6)²=36

Подставим в исходные уравнения время t=1 с:

y=2sin(1)-2=-2 см

x=2-3cos(t)=-1 см

Вычислим скорость точки, как производную по времени:

V_x ==sin(t)

Для t=1с:

V_x = (3,14/2)*sin(1*3,14/6) = 1,57*0,5

V_x = 0,78 см/с

V_y = = cos(t)

Для t=1с:

V_y = (3,14/3)*cos(1*3,14/6) = 1,05*0,87

V_y = 0,91 см/с

V = =

V = 1,19 см/с

Найдем ускорение точки:

a_x = = cos(t)

Для t=1с:

a_x = 0,82*0,87 = 0,71 см/с²

a_y = = sin(t)

Для t=1с:

a_y = 0,55* 0,5 = 0,27 см/с²

a = = 0,76 см/с²

Определим касательное ускорение, исходя из равенства:

V²=V_x²+V_y²

Следовательно:

2V = 2V_x + 2V_y

a_τ = =

a_τ = (0,78*0,71+0,91*0,27)/ 1,19 = 0,67 см/c²

Вычислим нормальное ускорение:

a_n = = 0,36 см/c²

Радиус кривизны траектории определяется по формуле:

ρ = = 1,19^2/0,36

ρ = 3,93 см

Ответ:

Траектория точки B – эллипс (4-2x)²+(3y+6)²=36;

V = 1,19 см/с; a = 0,76 см/с²; a_n =0,36 см/c²; a_τ =0,67 см/c²;

ρ = 3,93 см.