Задача №1.1
В студенческой группе 28 человек. Среди них 20 студентов старше 19 и 8 старше 22 лет. Путем жеребьевки разыгрывается один пригласительный на вечер. Найти вероятность следующих событий:
- А – билет достанется студенту, старше 19 лет.
- В - билет достанется студенту, старше 19 лет, но младше 22 лет.
- С - билет достанется студенту, старше 22 лет.
Решение:
а) РА = (20+8)/28 = 1
б) РВ = 20/28 = 0,71
в) РС = 8/28 = 0,29 или 1-0,71 = 0,29
Задача №2.1
Женщина купила 10 семян растений, из них 4 – нецветущие. Случайно спутав их, она наудачу посадила 3. Какова вероятность того, что хотя бы одно из растений будет нецветущим?
Решение:
Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев:
Р(А) = n/m, (1)
где Р(А)— вероятность события А;
n — число случаев, благоприятствующих событию А;
m — общее число случаев.
Общее число:
m = С103 = 120
Число благоприятствующих:
а) 1 нецветущее в 3-х посаженных:
n1 = C41*C62 = 4*15 = 60
б) 2 нецветущих в 3-х посаженных:
n2 = C42*C61 = 6*6 = 36
в) 3 нецветущих в 3-х посаженных:
n3 = C43 = 4
n = n1+ n2+ n3 = 60+36+4 = 100
Вероятность того, что хотя бы одно из растений будет нецветущим:
Р(А) = 100/120 = 0,83
Задача №3.1
Имеется девять доверенностей; шесть из них – доверенности на легковые автомобили, три – на машины грузового типа. При проверке одна за другой (без возвращений) взяты две доверенности. Какова вероятность того, что первая будет доверенностью на легковой автомобиль, а вторая – на машину грузового типа?
Решение:
Вероятность этих двух событий равна произведению их вероятностей.
а) на легковой автомобиль:
Рл = 6/9 = 0,67
б) на грузовой автомобиль:
Рг = 3/9 = 0,33
Р = 0,67*0,33 = 0,22
Задача №4.1
Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении – с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что фирма получит прибыль.
Решение:
По формуле Байеса для условной вероятности:
Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) (2)
По формуле полной вероятности:
Р(В) = 0,9*0,85+0,1*0,5= 0,815
По формуле Байеса:
Р(А/В) = 0,9*0,85/0,815= 0,939
Задача №5.1
В ходе аудиторской проверки компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. Найти вероятность того, что он обнаружит один счет с ошибкой, если ошибки содержатся в среднем в 3% счетов.
Решение:
По формуле Бернулли:
(3)
P51 = C51*0,03*(1-0,03)4 = 5*0,03* 0,885 = 0,133
Задача №6.1
Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.
Решение:
По формуле Пуассона:
P(k;λ) = (4)
λ = np (5)
Следовательно
λ = 100000*0,0001 = 10
P(k;λ) = 〖10〗^5/5!*e-10 = 833*0,000045 = 0,037
Задача №7.1
Составить закон распределения д. с. в. X – числа появления события A в трех независимых испытаниях, если вероятность появления в каждом испытании равна 0,6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение д. с. в. Х.
Решение:
Вероятность не появления события А:
q = 1-0,6 = 0,4
Используя теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий, составим закон распределения случайной величины X - числа появления события A в трех независимых испытаниях.
1) Х=0 – А не произошло ни разу:
p(0) q1 q2 q3 = 0,4*0,4*0,4 = 0,064
2) Х=1 – А произошло 1 раз:
p(1) = p1*q2*q3+ q1*p2*q3+ q1*q2*p3
p(1) = 0,6*0,4*0,4+0,4*0,6*0,4+0,4*0,4*0,6 = 0,288
3) X=2 – А произошло 2 раза:
p(2) = p1*p2*q3+ q1*p2*p3+ p1*q2*p3
p(2) = 0,6*0,6*0,4+0,4*0,6*0,6+0,6*0,4*0,6 = 0,432
4) Х=3 - А произошло 3 раза:
p(3) = p1 p2 p3 = 0,6*0,6*0,6 = 0,216
Заполним расчетную таблицу:
Таблица 1
Расчетные данные
Xi 0 1 2 3 Сумма
p(i) 0,064 0,288 0,432 0,216 1
Xi*p(i) 0 0,288 0,864 0,648 1,8
Xi2*p(i) 0 0,288 1,728 1,944 3,96
Математическое ожидание:
M(X) = ∑▒〖Xi*p(i)〗 = 1,8
Дисперсию вычислим по формуле:
D(X ) MX2 M (X )2 = ∑▒〖Xi2*p(i)〗 – 1,82
D(X) = 3,96-3,24 = 0,72
Среднее квадратическое отклонение:
(X) √(D(X) ) = 0,85
Графически закон распределения выглядит так:
Рисунок 1. Закон распределения
Задача №8.1
Даны законы распределения двух д. с. в. X и Y – прибыли двух филиалов фирмы:
x 0 100 200 300
p 0,1 0,5 0,3 0,1
y 0 50 100
p 0,3 0,5 0,2
Составить закон распределения суммарной прибыли Z=X+Y.
Решение:
Случайная величина Z=X +Y принимает следующие значения:
z1 = x1+y1 = 0+0 = 0
z2 = x1+y2 = 0+50 = 50
z3 = x1+y3 = 0+100 = 100
z4 = x2+y1 = 100+0 = 100
z5 = x2+y2 = 100+50 = 150
z6 = x2+y3 = 100+100 = 200
z7 = x3+y1 = 200+0 = 200
z8 = x3+y2 = 200+50 = 250
z9 = x3+y3 = 200+100 = 300
z10 = x4+y1 = 300+0 = 300
z11 = x4+y2 = 300+50 = 350
z12 = x4+y3 = 300+100 = 400
Как можно заметить:
z3 = z4; z6 = z7; z9 = z10
С вероятностями:
p(1) = 0,1*0,3 = 0,03
p(2) = 0,1*0,5 = 0,05
p(3) = 0,1*0,2 = 0,02 р(3;4) = 0,15+0,02 = 0,17
p(4) = 0,5*0,3 = 0,15
p(5) = 0,5*0,5 = 0,25
p(6) = 0,5*0,3 = 0,15 р(6;7) = 0,15+0,09 = 0,24
p(7) = 0,3*0,3 = 0,09
p(8) = 0,3*0,5 = 0,15
p(9) = 0,3*0,2 = 0,06 р(9;10) = 0,06+0,03 = 0,09
p(10) = 0,1*0,3 = 0,03
p(11) = 0,1*0,5 = 0,05
p(12) = 0,1*0,2 = 0,02
Занесем в таблицу:
Таблица 2
Закон распределения суммарной прибыли
x+y 0 50 100 150 200 250 300 350 400
p(i) 0,03 0,05 0,17 0,25 0,24 0,15 0,09 0,05 0,02
Графически закон распределения X+Y выглядит так:
Рисунок 2. Закон распределения суммарной прибыли Z=X+Y
Задача №9.1
Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения.
Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (0; 1).
Решение:
Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньше х, то есть
(6)
P(0≤x≥1) = F(1)-F(0) = (1/3+1/3)-(0+1/3) = 1/3 = 0,33
Задача №10.1
Дана выборка выручки магазина за последние 30 дней. Составить статистический ряд, построить гистограмму, полигон частот. Вычислить моду, медиану, среднее арифметическое, размах (разброс), дисперсию.
а) Мода - это значение числовой выборки, которому соответствует наибольшая частота.
Значение 12 14 15 16 17 18 19 21 22
Частота 1 4 2 4 2 8 4 2 3
Мода – 18
б) Медиана - это значение, которое делит упорядоченный ряд пополам.
М=X_(((n+1)/2) ) (7)
М = 17
в) Среднее арифметическое вычисляется по формуле:
X ̅=(X_1+X_2+⋯+X_n)/n (8)
X ̅=(12+14+15+16+17+18+19+21+22)/9 = 17,1
г) Размах определяется как:
R=X_max-X_min (9)
R = 22-12 = 10
д) Дисперсия – это мера разброса данных относительно среднего значения:
D= 1/(n-1) ∑_(i=1)^n▒〖(X_i-X ̅)〗^2 (10)
D = 0,125*((12-17,1)^2+(14-17,1)^2+(15-17,1)^2+(16-17,1)^2+(17-17,1)^2+(18-17,1)^2+(19-17,1)^2+(21-17,1)^2+(22-17,1)^2) = 10,6
е) Статистический ряд (вариационный):
Значение 12 14 15 16 17 18 19 21 22
Частота 1 4 2 4 2 8 4 2 3
ж) Гистограмма:
Рисунок 3. Гистограмма распределения
з) Полигон частот:
Рисунок 4. Полигон частот
Литература
1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.
2. А.Н. Фирсов. Теория вероятностей. Ч. 1. СПб.: СПГПУ, 2005. – 112 с.
|
