Задача №1.2
Абонент забыл две последние цифры номера телефона, но помнит, что они различные и что:
а) Образуют двузначное число, меньшее 40 и кратное двум;
б) Образуют двузначное число, кратное пяти;
в) Образуют двузначное число, меньшее 35.
Найти вероятность набора верного номера.
Решение:
а) РА = 1/(38/2) = 0,05
б) РВ = 1/((95-5)/5) = 0,056
в) РС = 1/(34-10) = 0,042
Задача №2.2
На полке в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.
Решение:
Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев:
Р(А) = m/n, (1)
где Р(А)— вероятность события А;
m — число случаев, благоприятствующих событию А;
n — общее число случаев.
Общее число:
m = С153 = 455
а) 1 в переплете:
n1 = C51*C102 = 5*45 = 225
б) 2 в переплете:
n2 = C52*C101 = 10*10 = 100
в) 3 в переплете:
n3 = C53 = 10
n = n1+ n2+ n3 = 225+100+10 = 335
Вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете:
Р(А) = 335/455 = 0,736
Задача №3.2
В течение года две фирмы имеют возможность, независимо друг от друга, обанкротиться с вероятностями 0,06 и 0,09. Найти вероятность того, что в конце года обе фирмы будут функционировать.
Решение:
Вероятность, что каждая фирма будет работать:
р(1) = 1-0,06 = 0,94
р(2) = 1-0,09 = 0,91
Вероятность этих двух событий равна произведению их вероятностей:
р(12) = 0,94*0,91 = 0,855
Задача №4.2
В группе из 20 стрелков имеется 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего – 0,7, для посредственного – 0,5. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель. Какова вероятность, что наудачу выбранный стрелок – отличный, если он попал в цель?
Решение:
а) По формуле полной вероятности:
р(1) = (4/20)*0,9+(10/20)*0,7+(6/20)*0,5 = 0,68
б) По формуле Байеса для условной вероятности:
Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) (2)
Р(А/В) = (4/20)*0,9/0,68 = 0,26
Задача №5.2
Из урны, содержащей два белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением пять раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что четыре раза появится белый шар.
Решение:
Вероятность выбрать белый шар:
р(б) = 2/8 = 0,25
Вероятность выбрать черный шар:
р(ч) = 6/8 = 0,75
Вероятность того, что четыре раза появится белый шар, равна произведению вероятностей:
р(4б) = 0,25*0,25*0,25*0,25*0,68 = 0,0027
Задача №6.2
Вероятность заболевания человека гриппом во время эпидемии равна 0,3. Найти вероятность того, что из 400 сотрудников фирмы заболеют во время эпидемии 120 сотрудников.
Решение:
Воспользуемся локальной формулой Лапласа:
, (3)
где Pn(k) - вероятность появления события ровно k раз при n независимых
испытаниях;
p - вероятность появления события при одном испытании;
q = 1− p.
(120-400*0,3)/√(400*0,3*0,7) = 0
φ(0) = 0,3989 (по таблице функции).
Pn(k) = (0,3989 )/√(400*0,3*0,7) = 0,3989/9,16 = 0,043
Задача №7.2
Игральная кость брошена три раза. Составить закон распределения д. с. в. X – числа появления шестерки. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение д. с. в. Х.
Решение:
p = 1/6 = 0,17
q = 1-0,17 = 0,83
1) Х=0 – шестерка не выпала ни разу:
p(0) q1 q2 q3 = 0,83*0,83*0,83 = 0,57
2) Х=1 – шестерка выпала 1 раз:
p(1) = p1*q2*q3+ q1*p2*q3+ q1*q2*p3
p(1) = 0,17*0,83*0,83+0,83*0,17*0,83+0,83*0,83*0,17 = 0,35
3) X=2 – шестерка выпала 2 раза:
p(2) = p1*p2*q3+ q1*p2*p3+ p1*q2*p3
p(2) = 0,17*0,17*0,83+0,83*0,17*0,17+0,17*0,83*0,17 = 0,072
4) Х=3 - шестерка выпала 3 раза:
p(3) = p1 p2 p3 = 0,17*0,17*0,17 = 0,0049
Заполним расчетную таблицу:
Таблица 1
Расчетные данные
Xi 0 1 2 3 Сумма
p(i) 0,57 0,35 0,072 0,0049 1
Xi*p(i) 0 0,35 0,144 0,147 0,641
Xi2*p(i) 0 0,35 0,288 0,441 1,079
Математическое ожидание:
M(X) = ∑▒〖Xi*p(i)〗 = 0,641
Дисперсию вычислим по формуле:
D(X ) MX2 M (X )2 = ∑▒〖Xi2*p(i)〗-0,6412
D(X ) 1,079-0,411 = 0,668
Среднее квадратическое отклонение:
(X) √(D(X) ) = 0,817
Графически закон распределения выглядит так:
Рисунок 1. Закон распределения
Задача №8.2
Дискретные случайные величины заданы законами распределения:
x 1 2
p 0,2 0,8
y 1 0,5
p 0,3 0,7
Найти M(XY) двумя способами:
а) с помощью закона распределения XY.
б) используя свойства математического ожидания.
Решение:
Случайная величина Z=XY принимает следующие значения:
z1 = x1*y1 = 1*1 = 1
z2 = x1*y2 = 1*0,5 = 0,5
z3 = x2*y1 = 2*1 = 2
z4 = x2*y2 = 2*0,5 = 1
С вероятностями:
p(1) = 0,2*0,3 = 0,06
p(2) = 0,2*0,7 = 0,14
p(3) = 0,8*0,3 = 0,24
p(4) = 0,8*0,7 = 0,56
Поскольку z1 = z4, то p(1) = p(4) = 0,56+0,06 = 0,62
Закон распределения Z=XY занесем в таблицу:
Таблица 2
Закон распределения Z=XY
Z=XY 0,5 1 2
р(i) 0,14 0,62 0,24
Графически закон распределения Z=XY выглядит так:
Рисунок 2. Закон распределения Z=X+Y
а) с помощью закона распределения XY:
M(X) = ∑▒〖Xi*p(i)〗 = 0,5*0,14+1*0,62+2*0,24 = 1,17
б) используя свойства математического ожидания:
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:
(4)
M(X1) = 1*0,2+2*0,8 = 1,8
M(X2) = 1*0,3+0,5*0,7 = 0,65
M(X1*X2) = 1,8*0,65 = 1,17
Полученные результаты одинаковы.
Задача №9.2
Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения.
Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения в интервале (2; 3).
Решение:
Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньше х, то есть
(5)
P(2≤x≥3) = F(3)-F(2) = (3/2-1)-0 = 0,5
Задача №10.2
Дана выборка выручки магазина за последние 30 дней. Составить статистический ряд, построить гистограмму, полигон частот. Вычислить моду, медиану, среднее арифметическое, размах (разброс), дисперсию.
Составим статистический ряд:
Значение 13 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Частота 1 1 2 4 2 2 4 3 4 2 2 2 1
а) Мода - это значение числовой выборки, которому соответствует наибольшая частота.
Мода в данном случае не определима.
б) Медиана - это значение, которое делит упорядоченный ряд пополам.
М=X_(((n+1)/2) ) (6)
М = 21
в) Среднее арифметическое вычисляется по формуле:
X ̅=(X_1+X_2+⋯+X_n)/n (7)
X ̅=(13+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27)/13 = 271/13 = 20,85
г) Размах определяется как:
R=X_max-X_min (8)
R = 27-13 = 14
д) Дисперсия – это мера разброса данных относительно среднего значения:
D= 1/(n-1) ∑_(i=1)^n▒〖(X_i-X ̅)〗^2 (9)
D = 0,083*((13-20,85)^2+(16-20,85)^2+(17-20,85)^2+(18-20,85)^2+(19-20,85)^2+(20-20,85)^2+(21-20,85)^2+(22-20,85)^2+(23-20,85)^2+(24-20,85)^2+(25-20,85)^2+(26-20,85)^2+(27-20,85)^2) = 17,4
е) Гистограмма:
Рисунок 3. Гистограмма распределения
ж) Полигон частот:
Рисунок 4. Полигон частот
Литература
1. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2004. — 404 с: ил.
2. А.Н. Фирсов. Теория вероятностей. Ч. 1. СПб.: СПГПУ, 2005. – 112 с.
|
