Задача 7.13
   В группе из 20 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, 5 отличников, 7 хорошо подготовленных, 6 удовл. и 2 плохо подготовленных студентов. Отличники знают все 25 вопросов, хорошо – 20, удовл. – 15, а плохо подготовленные – 10 вопросов. Случайно выбранный студент ответил на 2 вопроса. Найти вероятность, что это плохо подготовленный студент.
   Решение:
      Вероятность того, что отличник ответит на 2 вопроса равна:
(25/25)* (25/25) = 1
     Хорошо:
(20/25)*(20/25) = 0,64
   Удовлетворительно:
(15/25)*(15/25) =0,36
   Плохо:
(10/25)*(10/25) = 0,16
   По формуле полной вероятности, вероятность ответ на 2 вопроса:
р(2) = (5/20)*1+(7/20)* 0,64+(6/20)* 0,36+(2/20)* 0,16 = 0,598
   По формуле Байеса для условной вероятности:
Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В)
Р(А/В) = ((2/20)*0,16)/ 0,598 = 0,027
  Вероятность, что это плохо подготовленный студент ответил на 2 вопроса:
р = 0,027

 
Задача 9.13

   Найти закон распределения дискретной случайной величины ξ, построить многоугольник распределения, вычислить функцию распределения F(x) и построить ее график, найти математическое ожидание М(ξ), моду М0(ξ), медианный отрезок, дисперсию D(ξ) и среднее квадратическое отклонение σ(ξ).
  На пути автомобиля 5 светофоров, каждый разрешает или запрещает движение с вероятностью 0,4. Случайная величина ξ – число светофоров до первой остановки.
   Решение:
p = q = 0,4
а) 0 светофоров до остановки:
р(0) = p1 = 0,4 (состояние дальнейших светофоров не имеет значения)
б) 1 светофор до остановки:
p(1) = q1*p2 = 0,4*0,4 = 0,16
в) 2 светофора до остановки:
p(2) = q1*q2*p3 = 0,4*0,4*0,4 = 0,064
г) 3 светофора до остановки:
p(3) = q1*q2*q3*p4 = 0,4*0,4*0,4*0,4 = 0,026
д) 4 светофора до остановки:
p(4) = q1*q2*q3*q4*p5 = 0,4*0,4*0,4*0,4*0,4  = 0,01
Заполним расчетную таблицу:
Таблица 1
Расчетные данные
Xi    0    1    2    3    4    Сумма
p(i)    0,4    0,16    0,064    0,026    0,01    0,66
Xi*p(i)    0    0,16    0,128    0,078    0,04    0,406
Xi2*p(i)    0    0,16    0,256    0,234    0,16    0,81

   Математическое ожидание:
M(X) = ∑▒〖Xi*p(i)〗 = 0,406
   Мода - это значение числовой выборки, которому соответствует наибольшая частота (наибольшая вероятность).
М0 = 0
   Дисперсию вычислим по формуле:
D(X )  MX2 M (X )2 = ∑▒〖Xi2*p(i)〗-0,4062
D(X )  0,81-0,16 = 0,65
   Среднее квадратическое отклонение:
 (X)  √(D(X) ) = 0,8
   Многоугольник распределения:
 
Рисунок 1. Многоугольник распределения

Составим функцию распределения:
0 при х>4
0,01 при 3<x≤4
0,036 при 2<x≤3
    F(x)    0,1 при 1<x≤2
0,26 при 0<x≤1
0,66 при x<0
   Построим график функции:
F(x)

0,6

0,4

0,2

0    1    2    3    4    x
Рисунок 2. График функции