Задача 1
Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается шесть билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся четыре девушки.
Решение:
Согласно определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев:
Р(А) = m/n, (1)
где Р(А)— вероятность события А;
m — число случаев, благоприятствующих событию А;
n — общее число случаев.
Общее число случаев:
n = C176 = 12376
Число благоприятствующих:
m = C84*C92 = 2520
Вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся четыре девушки:
Р(А) = 2520/12376 = 0,204
Задача 2
Пассажир может обратиться за получением билета в одну из четырех касс вокзала А или в одну из шести касс вокзала В. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира в кассах вокзала А имеются в продаже билеты, равна 0,4; для вокзала В эта вероятность составляет 0,7. Пассажир купил билет. Найти вероятность того, что билет куплен в кассе вокзала В.
Решение:
По формуле Байеса для условной вероятности:
Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) (2)
По формуле полной вероятности:
Р(В) = 0,4*0,4+0,7*0,6 = 0,58
По формуле Байеса вероятность того, что билет куплен в кассе вокзала В:
Р(А/В) = 0,7*0,6/0,58 = 0,724
Задача 3
В среднем 15% открывающихся малых предприятий становятся банкротами в течение первого года своей деятельности. Найти вероятность того, что из девяти малых предприятий, открывшихся в начале года, к концу года обанкротятся четыре.
Решение:
Вероятность предприятию обанкротиться:
р(1) = 0,15
Вероятность не обанкротиться:
q(1) = 0,85
Вероятность того, что четыре предприятия обанкротятся, а пять - нет, равна:
p = C94*p(1)4*q(1)5
p = 126* 0,00050625* 0,443705 = 0,028
Задача 4
Отдел технического контроля проверяет 750 изделий на брак. Вероятность, что изделие бракованное 0,16. Найти вероятность того, что число не бракованных изделий среди проверенных будет от 700 до 730.
Решение:
По интегральной формуле Лапласа:
(3)
- вероятность появления события не менее m1 и не более
m2 раз при n независимых испытаниях, p - вероятность появления события при одном испытании, q = 1 − p.
Следовательно
Pn(m1,m2) = Ф((730-750*0,84)/(750*0,16*0,84)^0,5)- Ф((700-750*0,84)/(750*0,16*0,84)^0,5) = Ф(9,96)-Ф(6,97) = 0,5-0,5 = 0
При х>5 Ф(х) принимается равной 0,5, то есть вероятность того, что число не бракованных изделий среди проверенных будет от 700 до 730:
Pn(m1,m2) = 0
Задача 5
В двух коробках находятся детали: в первой - 25, из которых 20 стандартных; во второй - 40, из которых 30 стандартных. Из каждой коробки наудачу берут по одной детали. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей будет две стандартные.
Решение:
Искомая вероятность будет равна произведению вероятностей:
Р = (20/25)*(30/40) = 0,6
Задача 6
Графитный стержень длиной 5 см при падении разламывается случайным образом на две части. Найти вероятность того, что одна часть будет не короче 3 см.
Решение:
Воспользуемся геометрическим определением вероятности. Вероятность наступления некоторого события А в испытании равна отношению
, (4)
где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию исходов. На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объем.
Представим графически:
Рисунок 1. Графическое представление
Следовательно, вероятность того, что одна часть будет не короче 3 см:
Р = (2+2 см)/(5 см) = 4/5 = 0,8
Задача 7
Надежность первого банка в течение ближайшего года будет составлять 70%, второго - 80%, третьего - 60%, четвертого - 55%. Случайная величина ξ - число банков, обанкротившихся в течение года. Составить ряд распределения данной случайной величины, построить многоугольник распределения, найти ее математическое ожидание, моду, медианный отрезок, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение:
Надежность банков:
q(1) = 0,7
q(2) = 0,8
q(3) = 0,6
q(4) = 0,55
Вероятность банкротства:
p(1) = 0,3
p(2) = 0,2
p(3) = 0,4
p(4) = 0,45
1) Х=0 – ξ не произошло ни разу:
P0 = q(1)* q(2)* q(3)* q(4) = 0,7*0,8*0,6*0,55 = 0,18
2) Х = 1 – ξ произошло 1 раз:
P1 = p(1)* q(2)* q(3)* q(4)+ q(1)* p(2)* q(3)* q(4)+ q(1)* q(2)* p(3)* q(4)+ q(1)* q(2)* q(3)* p(4) = 0,3*0,8*0,6*0,55+0,7*0,2*0,6*0,55+0,7*0,8*0,4*0,55+0,7*0,8*0,6*0,45 = 0,40
3) Х = 2 – ξ произошло 2 раза:
P2 = p(1)* p(2)* q(3)* q(4)+ p(1)* q(2)* p(3)* q(4)+ p(1)* q(2)* q(3)* p(4)+
+ q(1)* p(2)* p(3)* q(4)+ q(1)* p(2)* q(3)* p(4)+ q(1)* q(2)* p(3)* p(4) =
0,3*0,2*0,6*0,55+0,3*0,8*0,4*0,55+0,3*0,8*0,6*0,45+0,7*0,2*0,4*0,55+0,7*0,2*0,6*0,45+0,7*0,8*0,4*0,45 = 0,31
4) Х = 3 – ξ произошло 3 раза:
P3 = p(1)* p(2)* p(3)* q(4)+ p(1)* p(2)* q(3)* p(4)+ p(1)* 2(2)* p(3)* p(4)+ q(1)* p(2)* p(3)* p(4) = 0,3*0,2*0,4*0,55+0,3*0,2*0,6*0,45+0,3*0,8*0,4*0,45+0,7*0,2*0,4*0,45 = 0,10
5) Х = 4 – ξ произошло 4 раза:
P4 = p(1)* p(2)* p(3)* p(4) = 0,3*0,2*0,4*0,45 = 0,01
Заполним расчетную таблицу:
Таблица 1
Расчетные данные
Xi 0 1 2 3 4 Сумма
p(i) 0,18 0,40 0,31 0,10 0,01 1
Xi*p(i) 0 0,40 0,62 0,30 0,04 1,36
Xi2*p(i) 0 0,40 1,24 0,90 0,16 2,70
Математическое ожидание:
M(X) = ∑▒〖Xi*p(i)〗 = 1,36
Дисперсию вычислим по формуле:
D(X ) MX2 M (X )2 = ∑▒〖Xi^2*p(i)〗 – 1,362
D(X) = 2,70-1,85 = 0,85
Среднее квадратическое отклонение:
(X) √(D(X) ) = 0,92
Мода - это значение числовой выборки, которому соответствует наибольшая частота (вероятность) = 1
Медиана - это значение, которое делит упорядоченный ряд пополам.
М=X_(((n+1)/2) ) (5)
М = 2
Многоугольник распределения:
Рисунок 2. Многоугольник распределения
Составим функцию распределения:
0 при х>4
0,01 при 3<x≤4
0,11 при 2<x≤3
F(x) 0,42 при 1<x≤2
0,82 при 0<x≤1
1 при x<0
Построим график функции:
F(x)
1
0,5
0 1 2 3 4 x
Рисунок 3. График функции
Задача 8
На графике представлена плотность распределения вероятностей случайной величины X.
Рисунок 4. Плотность распределения
Найти:
а) параметр α;
б) аналитическое выражение для функции f(x);
в) математическое ожидание;
г) диспер¬сию, если а = 2,с = 5,b = 6.
Решение:
Плотность вероятности имеет вид треугольника с основанием ab и точкой с, лежащей где-то на этом основании:
(6)
В точке c f(x) = 2/(b-a) , то есть:
f(x) = 2/(6-2) = 0,5
Математическое ожидание:
M(x) = (a+b+c)/3 = 13/3 = 4,33
Дисперсия:
(7)
D(x) = (4+25+36-10-12-30)/18 = 13/18 = 0,72
Задача 9
Пусть плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины имеет вид:
f(x) = γ*e-2x^2-6x+2 (8)
Найти:
а) параметр γ;
б) матема¬тическое ожидание;
в) дисперсию;
г) Р(— 2<Х < 2).
Решение:
Плотность распределения нормальной случайной величины X имеет вид:
(9)
Сравним с данным в условии выражением: f(x) = γ*e-2x^2-6x+2, чтобы определить неизвестные параметры.
-2x2-6x+2 = -(√2*x+3/√2)2 +6,5
То есть:
f(x) = γ*e6,5*e-(√2*x+3/√2)^2
Получаем, что a = 3/√2, σ 2 = 1/ 2 . Тогда приходим к условию для определения γ:
γ*e6,5 = 1/(√2π/2)
γ = e^(-6,5)/√π = 0,00085
Математическое ожидание:
M [X] = a = 3/√2 = 2,12
Дисперсия:
D[X] = σ 2 = 1/ 2
Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал (-2;2) по формуле:
(10)
Подставляем наши значения:
P(-2<x<2) = Ф((2-2.12)/(1/√2))-Ф((-2-2.12)/(1/√2) ) = Ф(-0,17)-Ф(-5,83)
Поскольку:
(11)
(12)
P(-2<x<2) = 0,5- 0,0675-(0,5-0,5) = 0,4325
Задача 10
Случайная величина X имеет равномерное распределение с математическим ожиданием -2 и дисперсией 12. Найти плотность вероятности данной случайной величины и построить ее график.
Решение:
Если случайная величина обладает постоянной плотностью распределения вероятностей на данном отрезке и нулевой плотностью вне его, то говорят, что она распределена равномерно. При этом функция плотности будет строго определенной:
(13)
Математическое ожидание:
(14)
Дисперсия:
(15)
То есть:
(a+b)/2 = -2
(b-a)^2/12 =12
Отсюда
a = -b-4
(b+b+4)2 = 144
4b2+8b+16 = 144
4b2+8b-128 = 0
Отсюда
b = 4,75
a = - 8,75
Функция плотности примет вид:
То есть на промежутке [a; b] f(x) = 0,07
Построим график:
f(x)
0,07
-8,75 4,75 x
Рисунок 5. Функция плотности
Литература
1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп.— М.: ЮНИТИ-
ДАНА, 2004. - 573 с.
2. ФИРСОВ А.Н. Теория вероятностей: Учебное пособие. – Ч. 1. – СПб.: Из-во СПбГПУ, 2005. – 112 с.
|
